我們知道數(shù)字信號(hào)處理的主要數(shù)學(xué)工具是傅里葉變換，而傅里葉變換是研究整個(gè)時(shí)間域和頻率域的關(guān)系，當(dāng)運(yùn)用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)測(cè)試信號(hào)處理時(shí)，不可能對(duì)無限長的信號(hào)進(jìn)行測(cè)量和運(yùn)算，而是取其有限的時(shí)間片段進(jìn)行分析。具體做法是從信號(hào)中截取一個(gè)時(shí)間片段，然后用截取的信號(hào)時(shí)間片段進(jìn)行周期延拓處理，得到虛擬的無限長信號(hào)，再進(jìn)行傅里葉變換和相關(guān)分析。無限長信號(hào)被截?cái)嗪螅漕l譜發(fā)生了畸變，我們稱為頻譜能量泄漏，為了減少頻譜泄漏，可采用不同的截取函數(shù)對(duì)信號(hào)進(jìn)行截?cái)?，截?cái)嗪瘮?shù)稱為窗函數(shù)，簡(jiǎn)稱為窗。

一為什么要加窗

　　每次FFT變換只能對(duì)有限長度的時(shí)域數(shù)據(jù)進(jìn)行變換，因此需要對(duì)時(shí)域信號(hào)進(jìn)行信號(hào)截?cái)?，即使是周期信?hào)，如果截?cái)嗟臅r(shí)間長度不是周期的整數(shù)倍(整周期截?cái)?，那么截取后的信號(hào)將會(huì)存在頻譜泄漏，為了將這個(gè)泄漏誤差減少到最小程度(不是消除)，我們需要使用窗函數(shù)。加窗主要是為了使時(shí)域信號(hào)似乎更好的滿足FFT處理的周期性要求，減少泄漏。

圖1 整周期截?cái)?、非整周期截?cái)嗉凹哟昂蟮念l譜

　　如上圖1所示，若整周期截?cái)?，則FFT頻譜為單一譜線。若為非整周期截?cái)?，則頻譜出現(xiàn)拖尾，可以看出泄漏很嚴(yán)重。為了減少泄漏，給信號(hào)施加一個(gè)窗函數(shù)，原始截?cái)嗪蟮男盘?hào)與這個(gè)窗函數(shù)相乘之后得到的信號(hào)為圖1最右側(cè)的信號(hào)?？梢钥闯?，此時(shí)信號(hào)的起始時(shí)刻和結(jié)束時(shí)刻幅值都為0，也就是說在這個(gè)時(shí)間長度內(nèi)，信號(hào)為周期信號(hào)，但是只有一個(gè)周期，對(duì)這個(gè)信號(hào)做FFT分析，相比之前未加窗的頻譜，泄漏已明顯改善，但并未完全消除，因此窗函數(shù)只能減少泄漏，不能消除泄漏。

二窗函數(shù)的定義

　　信號(hào)截?cái)鄷r(shí)，只能截取一定長度，哪怕原始信號(hào)是無限長，就好像是用一個(gè)“窗”(確切來說更像一個(gè)“框”)去做這樣的截取。如下圖2所示，原始信號(hào)是周期信號(hào)，時(shí)間很長，截取時(shí)用紅色的“窗”去截取這個(gè)周期信號(hào)，截取得到的信號(hào)如圖3所示。

圖2 原始信號(hào)

圖3 時(shí)間窗截?cái)嗪蟮男盘?hào)

　　當(dāng)然，這個(gè)“窗”是一個(gè)單位權(quán)重的加權(quán)函數(shù)，成為“矩形窗”。這個(gè)“窗”外的信號(hào)是看不到的，就好比通過窗戶看外面的世界，世界很大也很精彩，但您能看到的只是位于窗內(nèi)的世界。這就是為什么這樣的加權(quán)函數(shù)被成為窗函數(shù)的真正原因。

　　上圖3中用于截取信號(hào)的時(shí)域截取函數(shù)稱為窗函數(shù)，它是一種加權(quán)函數(shù)，不同窗的加權(quán)是不一樣的，也就是說，可以用不同的窗函數(shù)來做信號(hào)截?cái)?。常用的窗函?shù)有矩形窗、漢寧窗、平頂窗和指數(shù)窗等。

三窗函數(shù)的時(shí)頻域特征

　　加窗實(shí)質(zhì)是用一個(gè)所謂的窗函數(shù)與原始的時(shí)域信號(hào)做乘積的過程，使得相乘后的信號(hào)似乎更好的滿足傅里葉變換的周期性要求，如下圖4所示，原始的信號(hào)是不滿足FFT變換的周期性要求的，變換后存在泄漏，如果施加一個(gè)窗函數(shù)，會(huì)在一定程度上減少泄漏。

原始周期信號(hào)                                      窗函數(shù)                             加窗后的信號(hào)

圖4 信號(hào)加窗

　　使用不同的時(shí)間窗，他們的時(shí)域形狀和頻域特征是不相同的，這里主要介紹三種常見的窗函數(shù)的時(shí)域表達(dá)形式，以及他們的時(shí)域窗形狀和頻域特征。這三種窗分別是矩形窗、漢寧窗和平頂窗。它們的時(shí)域表達(dá)式如下表所示，并且假設(shè)時(shí)間窗的范圍為0≤t≤T，t的取值區(qū)間不同，窗函數(shù)的表達(dá)形式會(huì)略有差異。

窗函數(shù)	時(shí)域表達(dá)式
矩形窗
漢寧窗
平頂窗

　　矩形窗、漢寧窗和平頂窗的時(shí)域形狀和頻域特征如下圖5~圖6所示，可以看出，窗函數(shù)不同，時(shí)域和頻域都是不同的。

圖5 三種窗函數(shù)的時(shí)域形狀

圖6 三種窗函數(shù)的頻域特征

　　窗函數(shù)的典型頻譜特征如下圖7所示：

圖7 窗函數(shù)的典型頻譜特征

四加窗函數(shù)的原則

　　加窗函數(shù)時(shí)，應(yīng)使窗函數(shù)頻譜的主瓣寬度應(yīng)盡量窄，以獲得高的頻率分辨能力；旁瓣衰減應(yīng)盡量大，以減少頻譜拖尾。但通常都不能同時(shí)滿足這兩個(gè)要求，各種窗的差別主要在集中于主瓣的能量和分散在所有旁瓣的能量之比。

　　窗函數(shù)的選擇取決于分析的目標(biāo)和被分析信號(hào)的類型，一般來說，有效噪聲頻帶越寬，頻率分辨能力越差，越難于分清有相同幅值的鄰近頻率。選擇性的提高與旁瓣的衰減率有關(guān)，通常有效噪聲帶寬窄的窗，其旁瓣的衰減率較低，因此窗的選擇在二者中進(jìn)行折中處理。

　　窗函數(shù)的選擇一般原則如下：

　　1. 如果截?cái)嗟男盘?hào)仍為周期信號(hào)，則不存在泄漏，無需加窗，相當(dāng)于加矩形窗；

　　2. 如果信號(hào)是隨機(jī)信號(hào)或者未知信號(hào)，或者有多個(gè)頻率分量，測(cè)試關(guān)注的是頻率點(diǎn)而非能量大小，建議選擇漢寧窗；

　　3. 對(duì)于校準(zhǔn)目的，則要求幅值精確，平頂窗是個(gè)不錯(cuò)的選擇；

　　4. 如果同時(shí)要求幅值精度和頻率精度，可選擇凱塞窗；

　　5. 如果檢測(cè)兩個(gè)頻率相近、幅值不同的信號(hào)，建議用布萊克曼窗；

　　6. 錘擊法試驗(yàn)，力信號(hào)加力窗，響應(yīng)可加指數(shù)窗。

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