一頻譜泄露產(chǎn)生原因

　　在現(xiàn)代信號(hào)處理中，由于信號(hào)的頻域分析比時(shí)域分析具有更加清晰的物理概念和深刻含義，因而在信息技術(shù)領(lǐng)域中，F(xiàn)FT運(yùn)算和頻譜分析是一種常用的分析手段。對(duì)信號(hào)進(jìn)行頻譜分析首先需要通過(guò)信號(hào)的傅里葉變換計(jì)算出信號(hào)對(duì)應(yīng)的頻譜函數(shù)，但是由于實(shí)際應(yīng)用中接觸到的大量非周期連續(xù)信號(hào)x(t)的頻譜函數(shù)X(jω)是連續(xù)函數(shù)，利用計(jì)算機(jī)對(duì)其進(jìn)行頻譜分析時(shí)往往需要對(duì)信號(hào)進(jìn)行離散化處理以近似分析相應(yīng)的頻譜。在離散化處理過(guò)程中，由于被處理信號(hào)的有限記錄長(zhǎng)度和時(shí)域、頻域的離散性往往造成在頻譜分析中會(huì)出現(xiàn)一些特殊的效應(yīng)，例如混疊現(xiàn)象、泄露現(xiàn)象以及柵欄現(xiàn)象，頻譜泄露就是這樣出現(xiàn)的。

二頻譜泄露的分析方法

　　所謂頻譜泄露，就是信號(hào)頻譜中各譜線之間相互影響，使測(cè)量結(jié)果偏離實(shí)際值，同時(shí)在譜線兩側(cè)其他頻率點(diǎn)上出現(xiàn)一些幅值較小的假譜，導(dǎo)致頻譜泄露的原因是采樣頻率和信號(hào)頻率的不同步，造成周期采樣信號(hào)的相位在始端和終端不連續(xù)。

　　設(shè)X(t)為實(shí)際信號(hào)，T0為信號(hào)周期，f0=1/T0為信號(hào)頻率，Ts為采樣周期，fs=1/Ts為采樣頻率，L是截取的周期數(shù)，N是采樣點(diǎn)數(shù)，L、N均為正整數(shù)，X(t)經(jīng)過(guò)長(zhǎng)度為L(zhǎng)T0的時(shí)間窗后得到離散序列X(n)，必須滿足采樣頻率和信號(hào)頻率同步，即同步采樣的要求： LT0/Ts=Nfs/f0。

　　當(dāng)信號(hào)X(t)的頻率f0是fs/N的整數(shù)倍時(shí)，這說(shuō)明在處理長(zhǎng)度NT內(nèi)有信號(hào)的K個(gè)整周期。這時(shí)由X(t)構(gòu)成的以NT為周期的周期性信號(hào)是連續(xù)的。當(dāng)信號(hào)X(t)的頻率f0不是fs/N的整數(shù)倍時(shí)，則在NT的處理長(zhǎng)度內(nèi)，就不是恰好為信號(hào)周期的整數(shù)倍，有X(t)以NT為周期進(jìn)行周期延拓所得到的周期性信號(hào)就出現(xiàn)了不連續(xù)點(diǎn)，造成了頻譜分量從其正常頻譜擴(kuò)展開(kāi)來(lái)，就這樣形成了頻譜泄露現(xiàn)象。

　　在對(duì)信號(hào)做FFT分析時(shí)，如果采樣頻率固定不變，由于被采樣信號(hào)自身頻率的微小變化以及干擾因素的影響，就會(huì)使數(shù)據(jù)窗記錄的不是整數(shù)個(gè)周期。從時(shí)域來(lái)說(shuō)，這種情況在信號(hào)的周期延拓時(shí)就會(huì)導(dǎo)致其邊界點(diǎn)不連續(xù)，使信號(hào)附加了高頻分量;從頻域來(lái)說(shuō)，由于FFT算法只是對(duì)有限長(zhǎng)度的信號(hào)進(jìn)行變換，有限長(zhǎng)度信號(hào)在時(shí)域相當(dāng)于無(wú)限長(zhǎng)信號(hào)和矩形窗的乘積，也就是將這個(gè)無(wú)限長(zhǎng)信號(hào)截短，對(duì)應(yīng)頻域的傅里葉變換是實(shí)際信號(hào)傅里葉變換與矩形窗傅里葉變換的卷積。

　　當(dāng)信號(hào)被截短后的頻譜不同于它以前的頻譜。例如，對(duì)于頻率為fs的正弦序列，它的頻譜應(yīng)該只是在fs處有離散譜。但是，在對(duì)它的頻譜做了截短后，結(jié)果使信號(hào)的頻譜不只是在fs處有離散譜，而是在以fs為中心的頻帶范圍內(nèi)都有譜線出現(xiàn)，它們可以理解為是從fs頻率上泄露出去的，這種現(xiàn)象就是頻譜泄露。泄露現(xiàn)象對(duì)功率譜估計(jì)及正弦分量的檢測(cè)均帶來(lái)有害的影響，因?yàn)槿跣盘?hào)的主瓣很容易被強(qiáng)信號(hào)泄露到鄰近的副瓣所淹沒(méi)及畸變，從而造成譜的模糊與失真。 通過(guò)LABVIEW信號(hào)處理實(shí)驗(yàn)室可以看到當(dāng)邊界點(diǎn)不連續(xù)時(shí)出現(xiàn)的頻譜泄露的情況如下圖1所示：

圖1 信號(hào)邊界點(diǎn)不連續(xù)時(shí)

　　接下來(lái)舉例說(shuō)明以上的情況。假設(shè)連續(xù)信號(hào)X(t)的周期為T(mén)，現(xiàn)在對(duì)它進(jìn)行采樣，采樣時(shí)間為t，采樣N個(gè)點(diǎn)，那么T=N*t,因?yàn)閒(t)的頻率f0=2*pi/T,同時(shí)又有T=N*t、fs=2*pi/t,則有f0=2*pi/N*t=fs/N。接著我們假設(shè)對(duì)一個(gè)周期采樣N=32個(gè)點(diǎn)，則有f0=fs/N;當(dāng)對(duì)一個(gè)周期采樣N1=64個(gè)點(diǎn)，那么N1=2*N，有f0=fs/N=fs/N1/2,即f0=2*fs/N1；同理當(dāng)N2=128，f0=4*fs/N2…

　　也就是說(shuō)如果采樣的不是整數(shù)倍的信號(hào)周期，那么這32個(gè)點(diǎn)、64個(gè)點(diǎn)、128個(gè)點(diǎn)....就不是在一個(gè)整周期內(nèi)采到的，那么上面的等式也就不成立了，因此也就發(fā)生了頻譜泄露。如果原始信號(hào)的頻譜成份與FFT中的譜線完全一致，這種情況下采樣數(shù)據(jù)的長(zhǎng)度為信號(hào)周期的整數(shù)倍，頻譜中只有主瓣，沒(méi)有出現(xiàn)旁瓣的原因是旁瓣正處在窗函數(shù)主瓣兩側(cè)采樣頻率間隔處的零分量點(diǎn)。如果時(shí)間序列的長(zhǎng)度不是周期的整數(shù)倍，窗函數(shù)的連續(xù)頻譜將偏離主瓣的中心，頻率偏移量對(duì)應(yīng)著信號(hào)頻率和FFT頻率分辨率的差異，這個(gè)偏移導(dǎo)致了頻譜中出現(xiàn)旁瓣，所以窗函數(shù)的旁瓣特性直接影響著各頻譜分量向相鄰頻譜的泄露寬度。下圖2是信號(hào)邊界連續(xù)時(shí)的頻譜圖，可以看到此時(shí)頻譜未發(fā)生泄露。

圖2 信號(hào)邊界點(diǎn)連續(xù)時(shí)

　　因此，綜上所述，當(dāng)采樣同步時(shí)，窗口寬度等于整數(shù)個(gè)信號(hào)周期，矩形框的過(guò)零點(diǎn)與離散頻點(diǎn)正好對(duì)齊，沒(méi)有泄露。采樣不同步時(shí)，窗口寬度不是整數(shù)個(gè)信號(hào)周期，諧波頻譜分布不再是一條譜線而是在整個(gè)頻域內(nèi)分布，頻譜之間相互干擾，出現(xiàn)頻譜泄露。

　　由以上分析可以看出，采樣不同步是造成頻譜泄露的根本原因，減少采樣的同步誤差是抑制頻譜泄露的根本措施。

三消除頻譜泄露的處理方法

01選擇合適的窗函數(shù)

　　為減少頻譜能量泄露，可采用不同的截取函數(shù)對(duì)信號(hào)進(jìn)行截?cái)?，截?cái)嗪瘮?shù)稱為窗函數(shù)。泄露與窗函數(shù)頻譜的兩側(cè)旁瓣有關(guān)，如果兩側(cè)旁瓣的高度趨于零，而使能量相對(duì)集中在主瓣，就可以較為接近于真實(shí)的頻譜，為此，在時(shí)間域中可采用不同的窗函數(shù)來(lái)截?cái)嘈盘?hào)，應(yīng)用在諧波測(cè)量中的窗函數(shù)很多，不同的窗函數(shù)對(duì)諧波測(cè)量的影響各不相同，即使同一個(gè)窗函數(shù)，參數(shù)選擇不一樣，影響也不一樣，以下是6種常用的窗函數(shù)及特性：

　　                                  矩形窗                                                                    漢寧窗(Hanning)

                                     漢明窗(Hamming)                                                       布萊克曼窗(Blackman)

　　                            Bartlett窗(三角窗)                                                        凱澤窗(Kaiser)

　　選擇合適的窗函數(shù)對(duì)于減少頻譜能量泄露非常有效，以下是窗函數(shù)的選擇建議：

　　如果在測(cè)試中可以保證不會(huì)有泄露的發(fā)生，則不需要用任何的窗函數(shù)；

　　如果測(cè)試信號(hào)有多個(gè)頻率分量，頻譜表現(xiàn)的十分復(fù)雜，且測(cè)試的目的更多關(guān)注頻率點(diǎn)而非能量的大小。在這種情況下，需要選擇一個(gè)主瓣夠窄的窗函數(shù)，漢寧窗是一個(gè)很好的選擇；

　　如果測(cè)試的目的更多的關(guān)注某周期信號(hào)頻率點(diǎn)的能量值，那么其幅度的準(zhǔn)確性則更加的重要，可以選擇一個(gè)主瓣稍寬的窗；

　　如果檢測(cè)兩個(gè)頻率相近幅度不同的信號(hào)，用布萊克曼窗；

　　如想要靈活的通過(guò)窗函數(shù)的形狀來(lái)控制頻譜波紋或阻帶衰減指標(biāo)，則選擇凱澤窗；

　　如果被測(cè)信號(hào)是隨機(jī)或者未知的，選擇漢寧窗。

02加長(zhǎng)傅里葉時(shí)間窗長(zhǎng)度

　　傅里葉時(shí)間窗長(zhǎng)度就是參與傅里葉變換的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)，參與變換的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)越多，頻譜泄露越小。對(duì)于快速傅里葉變換FFT，要求數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)必須為2的N次冪，而對(duì)于普通離散傅里葉變換DFT則無(wú)此限制。

　　以下是不同采樣次數(shù)和窗寬對(duì)應(yīng)的頻譜泄露，從對(duì)比圖上可以看出，當(dāng)采樣次數(shù)N和窗寬L同時(shí)增大時(shí)，頻譜泄漏減小。

不同采樣次數(shù)和窗寬對(duì)應(yīng)的頻譜泄露

03利用頻率同步裝置減少頻譜泄露

　　利用硬件裝置實(shí)現(xiàn)頻率同步的裝置很多，其中下圖3所示的是利用數(shù)字式鎖相器(DPLL)實(shí)現(xiàn)頻率同步的框圖。圖中帶通濾波器用來(lái)濾除噪聲干擾，數(shù)字式相位比較器把取自系統(tǒng)電壓信號(hào)的相位和頻率與鎖相環(huán)輸出的同步反饋信號(hào)進(jìn)行相位比較。當(dāng)失步時(shí)，數(shù)字式相位比較器輸出與兩者相位差和頻率差有關(guān)的電壓，經(jīng)濾波后控制并改變壓控振蕩器的頻率，直到輸入的頻率和反饋信號(hào)的頻率同步為止。一旦鎖定，便將跟蹤輸入信號(hào)頻率變化，保持兩者的頻率同步，輸出的同步信號(hào)去控制對(duì)信號(hào)的采樣和加窗函數(shù)。

圖3 頻率同步數(shù)字鎖相裝置框圖

　　此種采用鎖相環(huán)技術(shù)實(shí)現(xiàn)硬件同步采樣的方法盡管可以在一定程度上減小頻譜泄露，但其加大了硬件復(fù)雜度。

04利用采樣頻率自適應(yīng)軟件算法來(lái)減少頻譜泄露

　　對(duì)于實(shí)際的電力信號(hào)，其頻率的變化一般是比較緩慢的，相鄰的幾個(gè)周波的頻率變化很小，在對(duì)其進(jìn)行頻譜分析時(shí)，針對(duì)電力信號(hào)這個(gè)特點(diǎn)，采用軟件采樣頻率自適應(yīng)算法。首先以基波頻率50HZ為采樣基點(diǎn)，然后通過(guò)軟件算法得到信號(hào)的實(shí)際頻率，用實(shí)際頻率自動(dòng)的調(diào)整采樣時(shí)間，可以減小同步誤差，提高精度。

　　對(duì)于實(shí)際電力信號(hào)，軟件采樣頻率自適應(yīng)算法如下：

　　(1)設(shè)定采樣間隔為T(mén)s=78.125us(采樣頻率fs=12.8kHz)，采樣2×512+256點(diǎn)；

　　(2)根據(jù)采樣序列和采樣間隔，利用改進(jìn)的過(guò)零修正法計(jì)算信號(hào)的實(shí)際頻率f0；

　　(3)由實(shí)際頻率f0調(diào)整新的采樣時(shí)間間隔，可使新的采樣時(shí)間窗是T0=1/f0的整數(shù)倍，并采樣2×512+256點(diǎn)；

　　(4)利用過(guò)采樣法進(jìn)行FFT運(yùn)算得到64點(diǎn)(N=512而只計(jì)算64點(diǎn))結(jié)果，輸出基波以及各次諧波數(shù)據(jù)；

　　(5)將2×512+256點(diǎn)采樣序列和新的采樣間隔作為參數(shù)，返回第(2)步。

　　本算法主要有以下特點(diǎn)：

　　(1)在第2步中采用數(shù)字濾波過(guò)零修正法。僅僅采用一般的過(guò)零線性化來(lái)計(jì)算采樣頻率所得到f0的誤差還是較大的，由于干擾或者某些因素影響，有時(shí)甚至?xí)霈F(xiàn)錯(cuò)誤。為了解決這個(gè)問(wèn)題，對(duì)采樣序列進(jìn)行數(shù)字濾波，一般來(lái)說(shuō)基頻信號(hào)最強(qiáng)，受其他諧波泄露的影響也最小，通過(guò)數(shù)字濾波器除基頻以上的頻率成分，保證基波附近頻率通過(guò)，并采用16位A/D轉(zhuǎn)換芯片，可明顯降低頻率計(jì)算誤差。

　　(2)在第3步中通過(guò)軟件實(shí)現(xiàn)對(duì)采樣時(shí)間間隔(采樣頻率)的調(diào)整，在實(shí)際應(yīng)用中，采用DSP芯片對(duì)采樣時(shí)間的確定可以精確到0.01us，有很好的精度保證。

　　(3)第4步中利用過(guò)采樣法進(jìn)行FFT運(yùn)算，可以減小混疊誤差，或降低對(duì)抗混疊濾波器的要求。如果進(jìn)行FFT運(yùn)算的序列不是充分的，其fs/2以上的頻率成分就會(huì)折疊到0~fc段內(nèi)。對(duì)于電力信號(hào)，要求分析的最高為64次的諧波，fc=3.2kHz，則fs~fc，2fs~3fc，3fs~5fc，4fs~7fc段頻譜會(huì)折疊到0~fc段內(nèi)引起折疊誤差。并且在fs/2附近折疊誤差最大；但當(dāng)fc一定時(shí)，提高fs會(huì)減小誤差，因此，在進(jìn)行信號(hào)分析時(shí)，可用過(guò)采樣方法減小混疊誤差。

四結(jié)語(yǔ)

　　綜上所述，采樣不同步產(chǎn)生的同步誤差是造成頻譜泄露的重要原因，上述的基于采樣頻率自適應(yīng)技術(shù)的軟件算法通過(guò)采樣數(shù)據(jù)計(jì)算得到信號(hào)較為準(zhǔn)確的實(shí)際頻率，并根據(jù)實(shí)際頻率動(dòng)態(tài)調(diào)整采樣的時(shí)間間隔，實(shí)現(xiàn)采樣頻率的自適應(yīng)，從而減小同步誤差，降低頻譜泄露的影響。WP4000變頻功率分析儀通過(guò)頻率測(cè)量和同步電路，保證了信號(hào)的整周期截?cái)?，傅里葉時(shí)間窗包含一個(gè)或整數(shù)個(gè)信號(hào)周期，有效的避免了頻譜泄露。

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