吉布斯現(xiàn)象

　　我們在“深入淺出的學習傅里葉變換”時曾了解到，數(shù)學界有過一場“正弦曲線能否組合成一個帶有棱角的信號”的偉大爭議，而這場爭議的男主角自然就是傅里葉和拉格朗日了。當然兩位男主角都沒有錯，劇情也告一段落。

　　直到1898年，美國阿爾伯特·米切爾森做了一個諧波分析儀，當他測試方波時驚訝的發(fā)現(xiàn)方波的XN(t)在不連續(xù)點附近部分呈現(xiàn)起伏，這個起伏的峰值大小似乎不隨N增大而下降！于是他寫信給當時著名的數(shù)學物理學家吉布斯，吉布斯檢查了這一項結果，隨機發(fā)表了他的看法：隨著N增加，部分起伏就向不連續(xù)點壓縮，但是對任何有限的N值，起伏的峰值大小保持不變，這就是吉布斯現(xiàn)象。

吉布斯現(xiàn)象示意圖

　　吉布斯現(xiàn)象的含義是：一個不連續(xù)信號X(t) 的傅里葉級數(shù)的截斷近似XN(t)，一般來說，在接近不連續(xù)點處將呈現(xiàn)高頻起伏和超量，而且，若在實際情況下利用這樣一個近似式的話，就應該選擇足夠大的N，以保證這些起伏擁有的總能量可以忽略。當然，在極限情況下，近似誤差的能量是零，而且一個不連續(xù)的信號(如方波)的傅里葉級數(shù)表示是收斂的。

　　出現(xiàn)吉布斯現(xiàn)象其實是由于傅里葉變換本身有很多成熟的快速算法(如FFT)，而且性能接近最佳，但它由于圖像數(shù)據的二維傅里葉變換實質上是一個二維圖像的傅里葉展開式，當然這個二維圖像被認為是周期性的。由于子圖像的變換系數(shù)在邊界上不連續(xù)，而將造成的復原子圖像也在其邊界上不連續(xù)。于是由復原子圖像構成的整幅復原圖像將呈現(xiàn)隱約可見的以子圖像尺寸為單位的方塊狀結構，影響整個圖像質量。這就是為什么傅里葉變換在分析方波時在其不連續(xù)點上出現(xiàn)吉布斯現(xiàn)象的原因了。

　　解決吉布斯現(xiàn)象的方法是后來研究出來的離散余弦變換(DCT)，即在傅里葉級數(shù)展開式中，如果被展開的函數(shù)是實偶函數(shù)，那么其傅里葉級數(shù)中只包含余弦項，再將其離散化可導出余弦變換。

　　基本思路為：將一個對稱的2N*2N像素的子圖像代替原來N*N子圖像。由于對稱性，子圖像做二維傅里葉變換，其變換系數(shù)將只剩下實數(shù)的余弦項。這樣就可以消除吉布斯現(xiàn)象了。